1.斐波那契数组

1.题目描述

如果数组 $A=(a_0,a_1,\cdots .a_{n-1})$满足以下条件, 就说它是一个斐波那契数组:

1. $n\ge 2;$
2. $a_0=a_1$
3. 对于所有的 $i(i\ge 2),$都满足 $a_i=a_{i-1}+a_{i-2}。$

现在, 给出一个数组 $A$, 你可以执行任意次修改, 每次修改将数组中的某 个位置的元素修改为一个大于 0 的整数。请问最少修改几个元素之后, 数组 $A$ 会变成一个斐波那契数组。

2.输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$,表示数组 $A$ 中的元素个数。
第二行包含 $n$ 个整数 $a_0,a_1,\cdots .a_{n-1},$相邻两个整数之间用一个空格分隔。

3.输出格式

输出一行包含一个整数表示最少需要修改数组 $A$ 中的几个元素之后, 数组 $A$ 可以变为一个斐波那契数组。

4.样例输入

5
1 2 2 4 8

5.样例输出

3

6.数据范围

$2\le n\le 10^5,1\le a_i\le 10^6。$

7.原题链接

斐波那契数组

2.解题思路

首先考虑斐波那契数组具有什么性质，我们令 $a_0=a_1=1$去打印出前30位斐波那契数。

不难发现，在不到30位的情况下，斐波那契数组的值已经超出了1e6，而注意到题目给定的 $a_i$ 的最大值才为 1e6。这说明其实后面的数我们根本无需考虑，都是必须要修改的。

接下来我们就只需要考虑前30位数最多可以保留多少个数，假设最多可以保留x个数，那么答案就为n-x。

对于斐波那契数列，如果 $a_0$ 确定了，那么整个数列都确定了。所以我们可以枚举 $a_0$ 的值，枚举的范围为$[1,10^6]。$然后去计算出前三十位的值，看与原数组符合预期的数有多少个，所有符合预期的数量取一个最大值x，最终答案即为n-x。

时间复杂度$O(30\ast 10^6)$

3.Ac_code

1.Java

import java.io.*;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static int[] arr = new int[50];
    static int V = 1000000;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //表示无穷大
        int res = 0x3f3f3f3f;
        int n = sc.nextInt();
        int count = n;
        //我只读入前三十个数
        if (n > 30) n = 30;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            arr[i] = sc.nextInt();
        }
        //枚举开头是多少         30*1e6   3e7
        for (int i = 1; i <= V; ++i) {
            int a = i, b = i, c = 0;
            int ans = 0;
            if (arr[1] == a) ans++;
            if (arr[2] == b) ans++;
            for (int j = 3; j <= 30; ++j) {
                c = a + b;
                //这里是一个减枝
                if (c > V) break;
                if (c == arr[j]) ans++;
                a = b;
                b = c;
            }
            res = Math.min(count - ans, res);
        }
        out.println(res);
        out.flush();
    }
}

2.C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int V=1000000;

int n;
int arr[50];
int res=inf;
int main() 
{
    scanf("%d",&n);
    int count=n;
    //只需要考虑前30位数
    if(n>30) n=30;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&arr[i]);
    }
    //起始的数(f[1]的值)
    for(int i=1;i<=V;++i){
        //a,b,c作为滚动数组枚举斐波那契数
        LL a=i,b=i,c=0;
        int ans=0;
        if(arr[1]==a) ans++;
        if(arr[2]==b) ans++;
        for(int j=3;j<=30;++j){
            c=a+b;
            //没必要继续下去
            if(c>V) break;
            if(c==arr[j]) ans++;
            a=b,b=c;
        }
        res=min(count-ans,res);
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

3.Python

v=1000000
res=float("inf")
n=int(input())
count=n
if n>30:
    n=30
arr=[0]*50
l=list(map(int,input().split()))
for i in range(1,n+1):
    arr[i]=l[i-1]
for i in range(1,v+1):
    a,b,c=i,i,0
    ans=0
    if arr[1]==a:
        ans=ans+1
    if arr[2]==b:
        ans=ans+1
    for j in range(3,31):
        c=a+b
        if c>v:
            break
        if c==arr[j]:
            ans=ans+1
        a,b=b,c
    res=min(count-ans,res)
print(res)```